Le scienze matematiche hanno sviluppato processi logici algebrici e trascendentali per esprimere la dipendenza tra due elementi o insiemi di elementi . Sono funzioni matematiche. Cosi, ad esempio, la durata del viaggio di un treno da una citta all’altra dipende dalla velocita: l’ampiezza della durata, qui, e funzione della velocita.
La prima grandezza (durata) e chiamata variabile dipendente mentre la seconda (velocita) e la variabile indipendente. Tuttavia, all’interno di questo semplice schema, si distinguono vari tipi di funzioni matematiche.
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INDICE
1. Cosa sono le funzioni matematiche?
2. Tipi di funzioni matematiche algebriche.
3. Tipi di funzioni matematiche trascendentali.
Cosa sono le funzioni matematiche?
In matematica, una funzione ( f ) e la relazione tra un insieme di elementi X (dominio) e un altro insieme Y (codominio) , in modo che ogni elemento del dominio corrisponda ad un singolo elemento del codiminio. Pertanto, la funzione e composta da tre campi: due insiemi non vuoti (X e Y) e una regola che mette in relazione entrambi gli insiemi.
L’obiettivo di una funzione e scoprire come ottenere y tramite x . Le funzioni sono rappresentate dal simbolo f(x) e rappresentano l’incognita che dobbiamo risolvere in ogni valore che diamo a x . In questo modo possiamo dire che f(x)=x .
9 tipi di funzioni matematiche
Esistono diversi tipi di funzioni matematiche a seconda degli elementi che contengono , del loro modo di relazionarsi e di come le rappresentiamo. La classificazione piu semplice e quella che contiene i tipi piu essenziali di funzioni si divide in funzioni algebriche e funzioni trascendentali.
1. Funzioni algebriche
Sono quelle funzioni la cui rappresentazione e un’operazione algebrica. In algebra, un polinomio e costituito da una somma finita di prodotti tra variabili (valori indeterminati o sconosciuti) e costanti (numeri fissi o coefficienti). Ebbene, una funzione algebrica risolve un’equazione polinomiale i cui coefficienti sono essi stessi polinomi .
In questo modo, una funzione algebrica e quella la cui variabile y e ottenuta combinando un numero finito di volte la variabile x insieme ad operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevazione a potenze ed estrazione di radici.
In base alla loro composizione e alla loro espressione distinguiamo i vari tipi di funzioni matematiche:1
1.1 Funzione affine
Una funzione affine e quella la cui espressione e un polinomio di grado 1 ed e rappresentata come f(x)=ax+b e da una linea retta su un grafico. A corrisponde alla pendenza della linea e ne riporta l’inclinazione, mentre b rappresenta la variabile indipendente. Un esempio di funzione affine e il seguente:
g(x)=3x-2h(x)=2x-7
Per rappresentare una funzione affine dalla sua espressione algebrica, cerchiamo due coppie ordinate che appartengono al grafico della funzione . Questi punti sono rappresentati nel piano cartesiano e sono uniti da una retta, che ci da la rappresentazione grafica della funzione affine.
Una funzione affine puo essere crescente, quando all’aumentare del valore di x , aumenta anche il valore di y , o decrescente, quando all’aumentare del valore di x, il valore di x diminuisce . Quando il valore di y rimane invariato al variare del valore di x , si parla di funzione costante.
1.2 Funzione lineare
Una funzione lineare ha anche un polinomio di grado 1 come sua espressione ma, in questo caso, non ha un termine indipendente. E rappresentato come f(x)=ax e da una retta passante per l’origine delle coordinate . Cioe, una funzione lineare e quella in cui la funzione corrisponde a x essere un numero qualsiasi . Per esempio:
g(x)=2x o h(x)=4x
Per disegnare una funzione lineare si trova l’immagine di qualsiasi valore della variabile diverso da zero, si segna sul piano il punto che corrisponde a quella coppia ordinata, si traccia la linea che passa per il punto 0,0 e per il punto precedente. A differenza della funzione affine, questa linea passa sempre per l’origine delle coordinate.
Il numero che moltiplica la variabile e chiamato rapporto di proporzionalita: in g(x)=2x sarebbe 2. Quando il rapporto di proporzionalita e positivo, la retta cresce piu velocemente quanto piu alto e il rapporto. Se e negativo, diminuisce piu velocemente minore e il rapporto. Ecco perche il rapporto di proporzionalita e la pendenza della retta .
1.3 Funzione quadratica
Nella funzione quadratica si esprime un polinomio di grado 2 con una sola variabile , rappresentato da una parabola i cui elementi sono l’asse di simmetria, il vertice ei rami. Quindi, ad esempio, una funzione quadratica e:
F(x)=3x 2 +2x-2
Per la rappresentazione grafica della funzione quadratica stabiliamo una tabella con alcuni valori della funzione. Per prima cosa si deve trovare il vertice del grafo, quindi coppie di punti equidistanti dal vertice . La precisione dipende dal numero di punti. E inoltre necessario indicare i punti di intersezione con gli assi.
Se si aumenta il termine indipendente della funzione , la parabola sale, e se si cambia il coefficiente di grado 2 i rami della parabola sono invertiti. Se questo coefficiente viene aumentato in valore assoluto, i rami sono chiusi.
1.4 Funzione cubica
Detta anche equazione di terzo grado perche esprime un polinomio di grado 3. In questa funzione i coefficienti sono numeri razionali in cui nella funzione data seguente f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d=0 il valore di a e diverso da 0. E una funzione cubica:
Y=f(x)=x 3
Per rappresentare graficamente una funzione cubica, valutiamo la funzione per un valore di x . Quindi si crea una tabella di valori per la variabile x e la variabile y , si crea un piano cartesiano e si trovano i punti unendoli a formare il grafico. La loro particolarita e che tagliano l’asse X in uno, due o tre a seconda del numero di radici reali, e tagliano l’asse Y in ( 0,d ) poiche f(0)=d .
1.5 Funzione razionale
Una funzione razionale e quella che puo essere scritta come quoziente di due polinomi e contiene una variabile al denominatore. In una data funzione p(x) e q(x) sono polinomi e q(x) e diverso da 0. Quindi, ad esempio, abbiamo come rappresentazione di una funzione razionale:
f(x)=1/x
In una funzione razionale un valore escluso e qualsiasi valore di x che rende indefinito il valore della funzione y . Pertanto, questi valori devono essere esclusi dalla funzione . Se prendiamo la funzione y=2/x+3 e -3. Pertanto, quando x=-3 il valore y non e definito. Il dominio di questa funzione e l’insieme di tutti i numeri reali tranne -3.
In algebra, un asintoto e una linea che si avvicina al grafico della funzione ma non lo tocca mai. Nella funzione di esempio che abbiamo fornito, gli assi xey sono asintoti , quindi il grafico della funzione si avvicinera senza toccare effettivamente gli asintoti.
6. Funzione radicale
Dette anche funzioni irrazionali, sono quelle che contengono nella loro definizione un radicale, una radice. Quelle piu semplici che di solito vengono fornite come esempio sono le radici quadrate con un numero reale diverso da 0 insieme ad aeb .
Per prima cosa devi determinare il dominio di definizione della funzione, che, trattandosi di radice quadrata, sara tutti i valori di x che rendono il radicando maggiore o uguale a zero . Quindi dobbiamo vedere se la funzione e positiva o negativa , che dipende dal segno della radice che abbiamo scelto.
Commentando il punto (-b/a, 0) nella parte positiva o negativa faremo uno schizzo della funzione che dovrebbe darci una forma obliqua laterale. Se aggiungiamo un numero alla variabile x la rappresentazione si sposta in alto, se sottraiamo si sposta a sinistra oa destra, se moltiplichiamo si allunga o si comprime.
2. Funzioni trascendenti
Una funzione di trascendenza e quella che non soddisfa un’equazione di polinomi; questo e in contrasto con le funzioni algebriche. Possiamo trovare, all’interno delle funzioni trascendentali, quelle di tipo elementare e quelle di tipo superiore : la differenza radicale e che quelle di tipo elementare si lasciano risolvere per mezzo di un numero finito di operazioni.
All’interno di questi due tipi, queste sono le funzioni trascendentali piu rilevanti:
2.1 Esponenziali
In matematica, il termine esponenziale si riferisce al tipo di crescita il cui tasso aumenta sempre piu velocemente. La funzione esponenziale e quella in cui la variabile indipendente e un esponente . Per esempio:
f(x)=3 1 =3
Le funzioni esponenziali, quindi, servono ad analizzare i contesti in cui un fenomeno cresce in modo esponenziale (diciamo, ad esempio, i dati demografici). Nell’equazione madre f(x)=a x abbiamo che la base e a , mentre x e l’esponente . L’esponente e la variabile indipendente che cambia nel tempo.
L’equazione esponenziale e quella in cui l’incognita appare come esponente. Per risolverlo basta equalizzare la base : le proprieta delle potenze vengono applicate per far si che la stessa base elevata a esponenti diversi appaia nei due membri dell’equazione.
2.2 Logaritmico
Le funzioni logaritmiche sono normalmente utilizzate nelle operazioni matematiche, nelle scienze naturali o nelle scienze sociali per comprimere la scala di misure di grandezze la cui crescita, di grande accelerazione , impedisce una rappresentazione visiva o la sistematizzazione del fenomeno rappresentato.
La funzione logaritmica e inversa alla funzione esponenziale, e quindi le sue caratteristiche sono contrarie: esiste solo per valori positivi di x , escluso lo zero . Nel punto x=1 la funzione svanisce, poiche log,1=0 in ogni base. La funzione logaritmica della base e sempre =1 , ed e anche continua: crescente per a>1 e decrescente per a
